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四舍五入不可取!结算金额,如何保证精确?

今天在 SegmentFault 看到了类似问题,查资料回答那个问题后,决定留个笔记。

我们在计算金额时,难免存在保留位数有限,计算结果需要取舍的情况。往往在电商、银行系统中,金额是以整数形式保存,单位为货币最小单位,例如分。但是在结算时额外的参数如折扣、利率、税率等存在着大量的浮点数,计算结果则需要转换为整数。

简单处理一般是四舍五入,但是这样存在很明显的问题,就是 “入” 的概率大于 “舍”,明显的,遇到 1、2、3、4 舍,遇到 5、6、7、8、9 入,粗看这种就可以发现问题。如果想要两边平衡,则 “四舍六入” 才是合理的,但是,5 怎么办?

有趣的推理

转自知乎用户给出的一个例子(原知乎答案地址:https://www.zhihu.com/question/28943072/answer/42673180

某实数 r = 0.4445。也就是说,比九分之四稍微大一点点。(构造其他小数也可以,有限小数还是无限小数、纯小数还是带小数都没关系)

好了,根据四舍五入算法 f,直接把这个 r 保留到整数。那么,明显,结果是 0,小数点后第一位是 4 么。

这时,请开放一下脑洞。有一群科学家拿到了这个数字。然后……

科学家 s3 把 r 保留到小数点后第 3 位,得 r3 = 0.445。第 4 位是 5 么,按四舍五入的精神,把这个 1 进到第 3 位,使之变成 5。

科学家 s2 把 r 保留到小数点后第 2 位,得 r3 = 0.45。第 3 位是 5 么,按四舍五入的精神,把这个 1 进到第 2 位,使之变成 5。

科学家 s1 把 r 保留到小数点后第 1 位,得 r1 = 0.5。第 2 位是 5 么,按四舍五入的精神,把这个 1 进到第 1 位,使之变成 5。

科学家 s0 把 r 保留到小数点后第 0 位,得 r0 = 1。第 1 位是 5 么,按四舍五入的精神,把这个 1 进到第 0 位,使之变成 1。

最终结果和 0.4445 直接四舍五入结果存在明显差异。

还有个例子也能说明:

2.55 + 3.45 = 6

如果我们把 2.55 和 3.45 四舍五入保留一位小数,那么上述式子就成了:

2.6 + 3.5 = 6.1

这样的问题非常常见,也导致了在大量样本中,四舍五入后计算结果的总和会明显大于直接计算总和的结果,对于金融单位计算利息而言,这样很显然是一个亏本的行为。如果不亏本的算,依旧是简单处理可能结果相反,那么客户就不开心了。

银行家舍入(Banker's Round)

亦叫做 “四舍六入五成双” ,四舍六入,使得两头(即进和舍)概率相等,但是,在 4 和 6 之间的 5 就需要特别对待。具体规则如下:

  • 舍去位的数值小于5时,直接舍去;
  • 舍去位的数值大于等于6时,进位后舍去;
  • 当舍去位的数值等于5时,分两种情况:5后面还有其他数字(非0),则进位后舍去;若5后面是0(即5是最后一位),则根据5前一位数的奇偶性来判断是否需要进位,奇数进位,偶数舍去。

舍去位,当小于 5,即 0 ~ 4.999999…… 则舍去,大于 6,即 6 ~ 10 则进位,则中间区间那个数字,5 ~ 5.999999…… ,只要使该区间内存在的数字平均分布,即可保证取舍概率相等。于是得到上述算法。

按上述规则,之前的 2.55 + 3.45 = 6 得出的结果如下:

2.6 + 3.4 = 6

结果正确。